Valor absoluto de un número real

Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.

 

|4| = 4            |-4 |= 4      |0| = 0

|x| = 8          x = −8         x = 8 

|x|< 8       − 8< x < 8      x (−8, 8 ) 

|x|> 9            x< 9 ó x>9     (−∞, 9 ) (9, +∞)

|x −3 |< 5     − 5 < x − 3 < 5    

 − 5 + 3< x <  5 + 3     − 2 < x < 8

Propiedades del valor absoluto

 

1-Los números opuestos tienen igual valor absoluto.

|a| = |−a|

|3| = |−3| =3

2-El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

|a · b| = |a| ·|b|

 

|4 · (−3)| = |4| · |(−3)|      |− 12| = |4| · |3|     12 = 12

3-El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.

|a + b| ≤ |a| + |b|

 

|7 + (−5)| ≤ |7| + |(−5)|      |2| = |7| + |5|     2 ≤ 12

Distancia

La distancia entre dos números reales a y b, que se escribe d(a, b), se define como el valor absoluto de la diferencia de ambos números:

d(a, b) = |b − a|

La distancia entre −3 y 4 es: 

d(−3, 4) = |4 − (−3)| = |4 + 3| = |7|